学而时嘻之

【这篇文章大概写于2004年，当时以Wally的名字贴于“世界军事论坛”，然后有人告诉我这就是兰切斯特方程的平方率。也有人说是我早知道这个方程，又故意说是自己独立推导的，令我有口难辩。今天在看到一篇果壳网的文章，又想起了此文。现在过去这么多年，我又写过不少文章，可是从原创技术含量角度，大概没有一篇能比得上这篇。】

【我认为根据这个理论，以M*Sqrt(p)来计算兵力的话，双倍于敌军兵力应该是最有效率的打法。另外，后面关于F-22和J8-II的比方是错误的，远程攻击不适合平方率，而且如果别人能打到你而你根本打不到别人，那就再多人数也没用。】

人海战术是我军作战常用打法。经常有人对这个打法持不屑的态度，认为难道就因为中国人多，中国人命就不值钱么，认为我们应该把主要精力用在提高单兵战斗力上面，而不应该总是靠人多取胜胜之不武。其实毛泽东军事思想一直都是强调以多打少，集中优势兵力歼灭敌人。即使在全局我军兵力不如敌军，我们在局部战斗，即使是游击战的时候，仍然是强调要以多于敌军的兵力来作战，伤其十指不如断其一指。

我最近几天因为老板出去度假，自己在家偷懒玩游戏打魔兽争霸，对人海战术有了一些新的理解。以下本文试图从数学角度研究人海战术的优势所在。我对军事属于完全业余水平，不知道是不是早就有人做过类似的计算，也许我做的这个计算早就是军事教科书的常识了。我将会用到微分方程，但是如果你不懂微分方程也能理解我的结论。

最初我思考的是这个问题：假定我军士兵比敌军士兵能打。如果双方各出兵100人的话，最后战斗结束的时候敌军全死（即完全丧失战斗力），我军伤亡80人，还剩下20人。现在假定敌军仍然出兵100人，但我军采用人海战术，出兵200人，那么战斗结束的时候我军情况如何？我军是不是伤亡80人，最后剩下120人呢？

不是！我军伤亡人数要少于80人。为什么呢？假设第一次双方各出100人的时候，战斗进行了一个小时，最后我军伤亡80人，这就是说，100敌军用一个小时可以打死打伤我军80人。但是现在我军出兵200人，200人打敌军100人，战斗时间根本用不了一个小时，比如说半个小时就结束了战斗，那么敌军根本来不及使我军伤亡80人，也许只能使我伤亡40人。也就是说如果这么算的话，200人打一百人的话，我军伤亡人数将大大下降。因此即使我军单兵战斗力高于敌军，使用人海战术仍然可以起到使我军减少伤亡的巨大作用。

但是以上这个推理是建立在敌军杀伤我军的速度不变的假设之上的，实际情况是随着敌军被我军不断杀伤，其总的战斗力不断下降，杀伤我军的速度也在下降，并不是一个线性的关系。为了精确计算双方伤亡，我建立如下数学模型：

假定开战的时候我军投入的人数是 M 人，敌军 N 人。并假定我军平均每个士兵在单位时间内可以使敌军 p 人丧失战斗力，敌军平均每个士兵在单位时间内可以使我军 q 人丧失战斗力。注意要从平均角度和概率角度去思考 p 和 q，这两个数字并不一定是整数，而且可以小于1。p 和 q 实际上就是双方的“单兵战斗力”，和士兵素质，指挥水平，装备水平，地形等等都有关系。

假定在 t 时刻，我军剩下的人数是 m(t) 人，敌军剩下 n(t) 人，那么在这个时刻，敌军被我军杀伤的人数必定是我军此时的总人数乘以其我单兵作战能力，即
　　dn(t)/dt = – p m(t),
类似地，
　　dm(t)/dt = – q n(t).

这个微分方程组很容易求解，考虑到初始值 m(0) = M, n(0) = N，方程组的解是
　　m(t) = ( M – N Sqrt(q/p) ) e^(Sqrt(pq) t) /2 + ( M + N Sqr(q/p) ) e^(-Sqrt(pq) t) /2,
　　n(t) = ( N – M Sqrt(p/q) ) e^(Sqrt(pq) t) /2 + ( N + M Sqrt(p/q) ) e^(-Sqrt(pq) t) /2.
其中的“Sqrt”表示开根号。

其实如果考虑到士气等等的因素，p 和 q 同样应该是是时间的函数，但为简单起见本文假定 p 和 q 都是常数。根据这个结果，我有如下两个定理：

定理一：我军战斗取胜的条件是 M Sqrt(p) > N Sqrt(q).

这个定理非常容易证明，只要让 n(t) = 0 有 t > 0 的实数解就知道。这个结论说明，如果你的单兵作战能力低，你就必须多带点人，当然这个道理不用微分方程也能看出来。注意这里比较有意思的一点是我们在决定带多少人够用的时候不是看 m*p，而是计算 m*Sqrt(p)，这一点如果不用微分方程你就看不出来了。

定理二：假定我军与敌军的单兵作战能力一样，即 p = q 的情况下，如果 m > n，那么到战斗结束，敌军一个不剩的情况下，我军还剩下 Sqrt(M^2 – N^2) 人，我军总共伤亡 M – Sqrt(M^2 – N^2) 人。

这个也非常容易证明，只要让 p = q, n(t) = 0，就可以计算得到那时的 m (t) = Sqrt(M^2 – N^2)。

这个定理说明了以多打少的优势所在！
　　
很容易证明只要 m > n, 则 Sqrt(M^2 – N^2) 必定大于 m – n，这就是说即使双方的单兵作战能力相等，我军最后剩下的人数也绝对比双方开始的人数之差要多，也就是说这不是敌人一个换我们一个。只要我们人多，就算双方士兵素质相等，敌人一个也换不了我们一个。这个道理本文一开始的时候已经论证过了。其实我军参战的人数越多，我军牺牲的人数就越少。比如说双方战斗力一样，如果各出100人，最后结果必定是两败俱伤，双方一个不剩。但是如果我军多带20人，我军120人打敌军100，则根据上面的计算，敌军全死的情况下我军还剩 Sqrt(120^2-100^2) = 66 人！你多带20个人，可以少死66个人。实际上在完全理想的情况下，我军即使只比敌军多带一个人，最后战斗结束也是我军获胜，并且幸存14人！

假定敌军100人，两军单兵作战能力相等的情况下，x 轴是我军出兵人数，从100到500之间变化，y 轴是最后我军伤亡人数。
其结果如下：

我军出兵人数：100，110，150，200，300，400，500
我军伤亡人数：100， 64， 38， 27， 17， 12， 10
　　
可以看出，如果我军也是100人，则全军覆没，但是我军只要人数稍微多一点，伤亡就会大大下降。同时我们也可以看出来并不是人越多就越好，如果带200人就已经可以做到伤亡很小了，这时候带300人所起到的作用根200人相比并不时特别显著。双倍于敌军人数应该是一个比较理想的数字。

其实从定理一我们还可以看出另一个结论。最终决定战争胜负的因素有两个方面：一个是人数，一个是单兵作战能力，也就是士兵素质，武器装备等等。现在的人一般比较迷信武器装备，认为提高 p 值最重要。但是我们看到，最后决定战争胜负的是M*Sqrt(p)。如果你把参战人数提高到原来的两倍，你的总战斗力就提高到两倍。但是如果你不提高人数，而是选择提高武器装备，提高士兵素质，那么为了达到同样的效果你必须把单兵作战能力提高到原来的四倍！

美军的选择是提高 p 值，毛泽东的选择是提高 M 值。到底是把 M 值乘以2容易，还是把p 值乘以 4 容易，对不同的国家，不同的经济条件，有不同的结论。问题在于用同样多的钱，如何提高M*Sqrt(p)。另外根据定理二我画的图，并不是说兵力越多就越好，一般来说单兵战力相同的情况下，两倍于敌人的兵力是最理想的。根据这个理论，我们可以思考一下我国需要多少常备军队合适。

这个数学理论有很多应用。比如说美军 F-22 好是好，但是价格狂贵，他的作战能力是不是一架就能打过 10 架 J8-II? 我军在武器配备方面应该好好参考这个理论。